矩陣行業定義及分類

　　矩陣行業定義是什麼？矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。下文是中國報告大廳小編整理的矩陣行業定義及分類。

　　矩陣行業定義

　　矩陣：構成動態平衡的循環體系。

　　例子：可以把能量循環體系視為矩陣。聚能/平衡效應。人體可以視為矩陣，地球可以比喻視為矩陣，宇宙也比喻的視為矩陣

　　在數學中，矩陣（Matrix）是指縱橫排列的二維數據表格，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

　　矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和准對角矩陣，有特定的快速運算算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。更多最新矩陣行業分析信息請查閱中國報告大廳發布的《2015-2020年中國矩陣行業研究報告》。

　　矩陣分類

　　環上的

　　若用一個環R去代替數域F，則可定義R上的矩陣及其運算，而且上述有關數域F上的內容，絕大部分都可以推廣到R上，尤其當R是一個有單位元素1的交換環，甚至是一個域時，則上述的全部內容可以推廣到R上。R是一個域或複數域F上的多項式環F【λ】的情形最為有用。

　　若A=（αij）是複數域F上的一個n階矩陣，I是n階單位矩陣，則A、I以及λI-A都可視為多項式環F【λ】上的n階矩陣 稱為A的特徵矩陣。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一個首項係數為1的n次多項（－1）nb0，其中bn-1恰為A的跡數，b0恰為|A|，？（λ）=|λI-A|稱為A的特徵多項式，其根稱為A的特徵值或特徵根。λ0為A的一個特徵值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩陣，使λ0ξ=Aξ。此ξ稱為A的屬於λ0的一個特徵向量。A的屬於不同特徵值的特徵向量，恆在F上線性無關。

　　對於F【λ】中任意一個m次多項式，可以用F上任意一個n階矩陣A去代替λ而引出一個n階矩，其中I為n階單位矩陣。所謂凱萊－哈密頓定理，即如果？（λ）是F上n階矩陣A的特徵多項式時，那麼恆有？（A）=On，其中On為n階零矩陣。由此可知，對於F上任意n階矩陣A，必存在唯一的首項係數為1的多項式φ（λ）使φ（A）=On。對於任意的多項式g（λ），g（A）=On必要而且只要φ（λ）|g（λ）（即φ（λ）能整除g（λ））。此φ（λ）就稱為A的最小多項式。

　　等價

　　對矩陣A的行與列或僅對行或僅對列施以若干次初等變換而得到矩陣B，稱為A等價於B，記為A≌B。。矩陣的等價是在討論一個向量空間到另一個向量空間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。所謂矩陣的初等變換，是指以下的任何一種變換：①用F中任意的一個不為零的元素α去乘矩陣的第i行（列）；②把矩陣的第i行（列）的b倍加於第j行（列），其中b為F中任意元素；③互換矩陣的第i與第j行（列），並分別稱為第一、第二、第三種初等變換。

　　對F上的單位矩陣I進行一次初等變換後所得出的矩陣，稱為初等矩陣。一種初等變換對應於一種初等矩陣。對矩陣A的行施以某種初等變換的結果，恰等於用相應的初等矩陣去左乘A;對A的列施以某種初等變換的結果，恰等於用相應的初等矩陣去右乘A。初等矩陣恆為可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣，因此初等矩陣的積恆為非奇異矩陣。由此可知，等價矩陣的秩數相同，或者說初等變換不改變矩陣的秩數。於是，經若干次初等變換後，必可將每個秩數為r的矩陣的左上角化為r階單位矩陣，而其他位置都化為0。n階非奇異矩陣恆等價於n階單位矩陣，恆可表為若干個初等矩陣之積。因此，A≌B必要而且只要有非奇異矩陣P、Q使PAQ=B。

　　多項式環F【λ】上的矩，簡稱為λ矩陣。在F【λ】上也可定義行列式。A（λ）的秩數定義為A（λ）的最大非零子式的階數。對λ矩陣也可進行初等變換，在第一種初等變換中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的？（λ）;第二種初等變換中則可用F【λ】中任意的g（λ）去代替b。也可以定義可逆性，對於λ矩陣P（λ）若有λ矩陣K（λ）使P（λ）K（λ）=K（λ）P（λ）=I，則稱λ矩陣P（λ）是可逆的，λ矩陣K（λ）則稱為P（λ）的逆矩陣。也可以定義λ矩陣的等價。秩數為r的λ矩陣A（λ）必等價於所謂A（λ）的法式即λ矩陣： ，

　　這裡的諸φi（λ）均由A（λ）惟一確定，且φ1（λ）|φ2（λ）|…|φr（λ），首項係數均為1。

　　由此可知，一個n階λ矩陣P（λ）是可逆的，必要而且只要P（λ）為若干個與λ矩陣的初等變換相應的初等矩陣的積；必要而且只要其行列式為F中的非零元素。兩個λ矩陣A（λ）m×n，B（λ）m×n是等價的，必要而且只要有可逆λ矩陣P（λ）、Q（λ）使P（λ）A（λ）Q（λ）=B（λ）。A（λ）的法式中的諸多項式φi（λ），都稱為A（λ）的不變因子，且可作如下分解： 式中諸ej（λ）是F【λ】中首項係數為1的互不相同的既約多項式；nij為非負整數，且最後一行中的n1r，n2r，…，nkr均非零，並。這些因，除去指數nij=0者，都稱為A（λ）的初等因子 必要而且只要它們的法式相同；必要而且只要它們的全部不變因子一致；必要而且只要它們的秩數與全部初等因子一致。

　　相似

　　對於域F上兩個n階矩陣A、B，若有非奇異矩陣P，使P-1AP=B， 則稱為A相似於B，記為A～B。矩陣之間的這個關係，具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關係。矩陣的相似是在討論一個向量空間到自身之間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。域F上兩個n階矩陣A與B相似，必要而且只要特徵矩陣（λI-A）與（λI-B）在F【λ】上等價。λI-A的不變因子與初等因子，分別稱為A的不變因子與初等因子。特徵矩陣λI-A的秩數，即A的階數n。因此，在F上的兩個n階矩陣A與B相似，必要而且只要它們的初等因子一致。當F是一個代數封閉域時，F【λ】中的首項係數為1的既約多項式只能是形如（λ-α）的一次式，所以此時F上的一個n階矩陣A的全部初等因子必為如下的一些多項式： 式中α1，α2，…，αk互不相同，k≥1；所有指數Л1，Л2，…，Лr，…；n1，n2，…，nt之和為n。對於每個形的多項式，可以惟一確定一個所謂若爾當小塊，即h階矩陣： ，

　　它只有一個初等因子，而且就。設上述n階矩陣A的全部初等因子的若爾當小塊分別是J1，J2，…，Jυ，v=r+s+…+t，用這v個小塊來合成一個n階對角分塊矩陣。 於是A～J，而且除諸小塊的次序外，J是由A所惟一確定的。J稱為A的若爾當標準形式。由此可知，只要找出A的全部初等因子即可求得A的若爾當標準形式。要找出A的全部初等因子有一個較簡捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通過初等變換化成對角矩陣，其對角線上的全部多項式不一定恰是A的全部不變因子，只要將其中每個非常數多項式的首項係數化為 1，再分解因子，即可象從不變因子求出初等因子那樣得出A的全部初等因子。

　　設N是任意域F上的一個方陣，若有正整數m使Nm=0，則N稱為一個冪零矩陣。例如，把上述若爾當小塊中的α全換成0得出的h階矩陣N，就是一個冪零矩陣，因為Nh=0。

　　若F上的方陣K具有性質K2=K，則稱K為一個冪等矩陣。例如單位矩陣就是一個冪等矩陣。由直接計算可知，對F上任意多項式？（λ），有。因此，與冪零矩陣相似的矩陣仍為冪零矩陣；與冪等矩陣相似的矩陣仍為冪等矩陣。

　　實數域上一個非奇異矩陣T若具有性質T┡=T-1（T┡是T 的轉置矩陣），則稱為一個正交矩陣。例如解析幾何里直角坐標旋轉公式的係數矩陣就是正交矩陣。一個正交矩陣的轉置矩陣（即其逆矩陣）仍為正交矩陣；兩個同階的正交矩陣的積仍為正交矩陣。實數域上任意一個對稱矩陣A，恆可通過適當的正交矩陣T而相似於對角矩陣D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的對角線上的實數就是A的全部特徵根。

　　複數域上的一個非奇異矩陣U若具有性質ū┡=U-1或U┡=（ū）-1（ū ┡為U 的共軛轉置矩陣），就稱為一個酉矩陣。一個酉矩陣的共軛矩陣仍為酉矩陣；一個酉矩陣的轉置矩陣仍為酉矩陣;一個酉矩陣的共軛轉置矩陣（即其逆矩陣）仍為酉矩陣；兩個同階的酉矩陣的積仍為酉矩陣。複數域上凡滿足的矩陣A，稱為埃爾米特矩陣。實對稱矩陣作為複數域上的矩陣時，就是埃爾米特矩陣。任意一個埃爾米特矩陣A，恆可通過適當的酉矩陣U 而相似於實對角矩陣D，即D =U┡Aū，且D 的對角線元素恰為A 的全部特徵根。一個正交矩陣作為複數域上的矩陣時，也是一個酉矩陣。

　　合同

　　當矩陣A經過若干套初等變換而化為矩陣B時，則稱為A合同於B，記。所以它是一種等價關係。矩陣的合同是在討論用（對稱）矩陣表示二次型的問題中產生的。

　　所謂一套初等變換，是指將某一種初等變換首先對一個矩陣的第i列（行）施行而得一矩陣，然後再對此所得矩陣的第i行（列）施行又得一矩陣。第一、二、三套初等交換，分別由第一、二、三種初等變換組成。

　　兩個n階矩陣A與B合同，必要而且只要有非奇異矩陣P使P┡AP=B。與對稱矩陣合同之矩陣仍為對稱矩陣。每個秩數為r的實對稱矩陣A恆合同於一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個-1；其他的對角線元素均為0，這裡p≥0，q≥0，p+q=r，而且p與q都是由A所惟一確定的。實對稱矩陣的特徵根恆為實數。實對稱矩陣A能合同於而又相似於一個對角矩陣，其對角線元素恰為A的全部特徵根。與單位矩陣合同的實對稱矩陣，稱為正定矩陣。對於n階實對稱矩陣A，以下命題是等價的：A為正定矩陣；有非奇異矩陣Q；A的所有主子式均為正實數；A的所有i階主子式之和Si均為正實數（i=1，A所相應的二次型為正定型。

　　對一個複數方陣施以第一套初等變換，就是用不為零的α乘i行，再用ā乘第i列；施以第二套初等變換，就是把第i行的b倍加於第j行，再用第i列的姼倍加於第j列；施以第三套初等變換仍然是互換第i和第j兩行，再互換第i和第j兩列。若對複數方陣A施以上述的若干套初等變換而得方陣B，則稱為A能h合同於B。矩陣的h合同關係具有反身性、對稱性和傳遞性，所以它是一種等價關係。兩個n階複數矩陣A與B是h合同的，必要而且只要有非奇異矩陣P使P′A圴 =B。與埃爾米特矩陣是h合同的矩陣仍為埃爾米特矩陣。每個埃爾米特矩陣A恆h合同於一個對角矩陣，其對角線上有p個1與q個－1，其他元素均為0，這裡p≥0，q≥0，p+q為A的秩數，而且p、q均是由A所惟一確定的。埃爾米特矩陣的特徵根恆為實數。埃爾米特矩陣A不僅恆能h合同於一個對角矩陣，而且必能相似於一個對角矩陣，此時其對角線元素恰為A的全部特徵根。與單位矩陣是h合同的埃爾米特矩陣，稱為正定埃爾米特矩陣。對於一個n階埃爾米特矩陣A，以下命題是等價的：A為正定埃爾米特矩陣；有非奇異矩陣Q;A的所有主子式為正實數;A的所有i階主子式之和Si，均為正實數（i=1，;A所相應的埃爾米特二次型是正定埃爾米特二次型。複數域上的一個方陣A若滿足A凴′=凴′A（即A與凴′可交換）就稱A為正規矩陣。實對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣與酉矩陣都是正規矩陣。每個複數方陣A均可表為A=h1+ih2，其中h1與h2均為由A所惟一確定的埃爾米特矩陣，此時A為正規矩陣必要而且只要h1與h2可交換。正規矩陣A與凴′有相同的特徵向量。一個複數方陣A為正規矩陣，必要而且只要有酉矩陣U使U-1AU 為對角矩陣。

　　矩陣的理論起源，可追溯到18世紀，見於著作則是在19世紀。A.凱萊在1858年引進矩陣為一個正方形的排列表，且能進行加法與乘法運算，於是人們就把A.凱萊作為矩陣論的創始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年與F.G.M.艾森斯坦在1844～1852 年就早已先後把一個線性替換（即線性變換）的全部係數作為一個整體，並用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法的次序的重要性，指出ST與TS未必相同。與艾森斯坦同時的C.埃爾米特以及稍後的E.N.拉蓋爾和F.G.弗羅貝尼烏斯也都先後發展了線性替換的符號代數。弗羅貝尼烏斯較豐富的工作於 1877年發表在最早的數學雜誌之一的《克雷爾雜誌》上。矩陣的相似標準形，矩陣的合同標準形，矩陣的求逆，矩陣的特徵值與廣義特徵值等是矩陣論的經典內容；矩陣方程論，矩陣分解論，廣義逆矩陣等是矩陣論的現代內容。矩陣及其理論在現代科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

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